[백준] 2579

계단 오르기

문제

계단 오르기 게임은 계단 아래 시작점부터 계단 꼭대기에 위치한 도착점까지 가는 게임이다. <그림 1>과 같이 각각의 계단에는 일정한 점수가 쓰여 있는데 계단을 밟으면 그 계단에 쓰여 있는 점수를 얻게 된다.

예를 들어 <그림 2>와 같이 시작점에서부터 첫 번째, 두 번째, 네 번째, 여섯 번째 계단을 밟아 도착점에 도달하면 총 점수는 10 + 20 + 25 + 20 = 75점이 된다.

계단 오르는 데는 다음과 같은 규칙이 있다.

1. 계단은 한 번에 한 계단씩 또는 두 계단씩 오를 수 있다. 즉, 한 계단을 밟으면서 이어서 다음 계단이나, 다음 다음 계단으로 오를 수 있다.
2. 연속된 세 개의 계단을 모두 밟아서는 안 된다. 단, 시작점은 계단에 포함되지 않는다.
3. 마지막 도착 계단은 반드시 밟아야 한다.

따라서 첫 번째 계단을 밟고 이어 두 번째 계단이나, 세 번째 계단으로 오를 수 있다. 하지만, 첫 번째 계단을 밟고 이어 네 번째 계단으로 올라가거나, 첫 번째, 두 번째, 세 번째 계단을 연속해서 모두 밟을 수는 없다.

각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어질 때 이 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

입력

입력의 첫째 줄에 계단의 개수가 주어진다.

둘째 줄부터 한 줄에 하나씩 제일 아래에 놓인 계단부터 순서대로 각 계단에 쓰여 있는 점수가 주어진다. 계단의 개수는 300이하의 자연수이고, 계단에 쓰여 있는 점수는 10,000이하의 자연수이다.

출력

첫째 줄에 계단 오르기 게임에서 얻을 수 있는 총 점수의 최댓값을 출력한다.

풀이

const stair = () => {
  let input = require("fs")
    .readFileSync("/dev/stdin")
    .toString()
    .trim()
    .split("\n")
    .map(Number);

  if (input[0] === 1) {
    console.log(input[1]);
    return;
  }
  let dp = Array.from(
    { length: input[0] + 1 },
    (v) => (v = Array.from({ length: 3 }, (n) => 0))
  );
  (dp[1][1] = input[1]),
    (dp[2][1] = input[2]),
    (dp[2][2] = input[1] + input[2]);

  for (let i = 3; i <= input[0]; i++) {
    dp[i][1] = Math.max(dp[i - 2][1], dp[i - 2][2]) + input[i];
    dp[i][2] = dp[i - 1][1] + input[i];
  }
  console.log(Math.max(...dp[input[0]]));
};

stair();

반성회

테이블 정의하기

D[N][1] = “지금까지 (N번째 계단까지) 1개의 계단을 연속해서 밟아 N번째 계단까지 올라왔을 때 점수의 최대값”

D[N][2] = “지금까지 (N번째 계단까지) 2개의 계단을 연속해서 밟아 N번째 계단까지 올라왔을 때 점수의 최대값”

이때 N번째 계단은 무조건 밟아야 한다

점화식 찾기

• D[1]
  • D[1][1] = 1번째 계단까지 1개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수 최대값 = input[1]
  • D[1][2] 는 존재할 수 없으므로 0
• D[2]
  • D[2][1] = 2번째 계단까지 1개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수 최대값 = input[2]
  • D[2][2] = 2번째 계단까지 2개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수 최대값 = input[1] + input[2]
• D[3]
  • D[3][1] = 3번째 계단까지 1개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수 최대값 = D[1][2] + input[3] or D[1][1] + input[3]
  • D[3][2] = 3번째 계단까지 2개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수 최대값 = D[2][1] + input[3]

D[K][1] 은 K번째 계단까지 1개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수이므로, K - 1번째 계단을 밟으면 안 된다 (K - 1번째 계단을 밟고 K번째 계단을 밟으면 2개의 계단을 연속해서 밟은 게 되므로)

또한 한 번에 두 칸까지만 올라갈 수 있으므로 1개의 계단을 연속해서 밟아 K번째 계단에 도달하는 방법은 K - 2번째 계단을 밟는 방법 뿐이다

 

K - 2번째 계단을 밟을 때 점수는 총 두 가지가 있으므로 (D[K - 2][1], D[K - 2][2]) 둘 중 더 큰 값을 취하면 D[K][1] 의 최대값을 구할 수 있다

무조건 K번째 계단을 밟아서 K번째 계단의 점수를 얻어야 하므로

D[K][1] = max(D[K - 2][1], D[K - 2][2]) + input[K]

 

D[K][2] 는 K번째 계단까지 2개의 계단을 연속해서 밟아 얻은 점수이므로, K - 1번째 계단을 무조건 밟아야 한다

이때 K - 2번째 계단까지 밟아 K - 1번째 계단까지 2개의 계단을 연속해서 밟은 상태라면 K번째 계단에선 3개의 계단을 연속해서 밟은 꼴이 되므로, D[K - 1][2] 는 이용할 수 없다

따라서 K - 1번째 계단을 밟을 때 점수는 1가지 뿐이므로

D[K][2] = D[K - 1][1] + input[K]

초기값 정하기

위 점화식으로 풀 수 있는 K의 최소값이 3이므로, 적어도 D[1][1], D[1][2], D[2][1], D[2][2]의 값을 알고 있어야 나머지 값을 구할 수 있다

이차원 배열 D[1], D[2]를 초기화하자

풀기

먼저 첫 번째 입력값으로 들어온 N이 최종 도착 지점이므로, 이를 마지막 인덱스로 갖는 (길이 N + 1) 이차원 DP 배열을 선언한다

각각의 배열은 길이 3의 서브 배열을 갖는다 (연속해서 밟은 계단의 수에 따라 점수를 따로 기록하기 위함)

N이 1일 때 DP 배열의 길이가 2이므로 D[2]에 접근하면 런타임 오류가 나온다 ⇒ 이에 대한 예외처리를 해준다

나머지는 DP를 통해 모든 경우의 수를 계산하고, 최종적으로 도착 지점 계단을 밟았을 때 두 가지 점수 (계단 1개 연속으로 밟았을 때, 2개 연속으로 밟았을 때) 중 큰 값을 출력한다